統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

統計学を学ぶのにおすすめの問題集3冊

統計学を勉強しようと考えている方向けにレベル別におすすめの問題集を紹介する。統計検定やアクチュアリー等を考えている人にも十分なレベルを備えている問題集達なのでぜひ参考にしてください。

※統計検定準1級以上は範囲が広がるためここにある問題集だけでは少し不足かも...

[初級] 弱点克服 大学生の確率・統計 著者:藤田岳彦

統計学を勉強し始めたならまずはこの問題集に手を付けるのがいいと思います。高校生向けの問題集のようなデザインでとっつきやすく、確率統計の要点をしっかりおさえている、初学者にうってつけの問題集です。確率統計を勉強したことがある人なら必ず何処かで手にしたことがあるはず。初学者でなくとも、一度は通してやっておきたい一冊です。

[中級] 明快演習 数理統計 著者:小寺平治

弱点克服で確率統計に慣れたら次にやるべきはこの「明快演習 数理統計」です。難易度は弱点克服とそんなに変わりません。こちらのほうが、タイトル見れば分かる通り、数理統計が中心となっており、数理統計学の関する、いわば王道の問題を扱っています。受験的にいうと、数理統計学の頻出問題集のような感じです。統計学関連の問題を一通り網羅しているので、ここまでやればまず大学の数理統計学の授業で困ることは無いと思います。アクチュアリー、統計検定もここまでやればもう十分、といったレベル。

[上級] 確率統計演習2-統計- 著者:国沢清典

上記2冊をやってまだ物足りないという方がやるべきはこの一冊。結構レベルが上がります。数理統計の専門書すら扱ってないようなマニアックなものもあり、これ一冊でかなりの範囲を網羅可能。難しそうな見た目の割に全ての問題に解答がついており、問題集としてだけでなく参考書としても利用できるレベル。数理統計で難しめのレポート出されても、国沢統計を調べれば結構書けたりする。持っておくと結構役に立つ名著。ちなみにこれは「2」とありますが「確率統計演習1-確率-」もあります。

標本(不偏)分散の期待値, 分散[正規分布]

正規分布に従う確率変数の期待値, 分散等は統計に関連する本ならばまず間違いなく載っています. しかし, 標本(不偏)分散の期待値, 分散となってくるとなかなか取り扱っている本もサイトも少ない気がします. 定義から求めればいいといえばいいのですが, バカ正直に計算しようとすると結構大変です. 今回は標本分散の期待値, 分散について見ていこうと思います.

標本分散, 標本不偏分散の定義

標本分散S^2と標本不偏分散U^2を次のように書くことにします.

\begin{eqnarray}
S^2 &=& \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \\
U^2 &=& \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2
\end{eqnarray}

モーメント

期待値の計算に際し, モーメントを用いるので, 正規分布積率母関数と, 1次と2次モーメントを計算おこうと思います. 正規分布N(\mu, \sigma^2)に従う確率変数X積率母関数M_X(t) = \exp(\mu t + \sigma^2 t^2 /2)であるので,


E(X) = \frac{d}{dt}M_X(t)|_{t=0} = (\mu + \sigma^2 t) e^{\mu t + \sigma^2 t^2/ 2}|_{t = 0} = \mu
E(X^2) = \frac{d^2}{dt^2} M_X(t)|_{t=0} = \sigma^2 e^{\mu t+\sigma^2 t^2/2} + (\mu + \sigma^2 t)^2 e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}|_{t=0} = \mu^2 + \sigma^2

ちなみに, 標本平均\bar{X}\sim N(\mu, \sigma^2/n)より, そのモーメントは,
 \displaystyle
E(\bar{X}) = \mu \\
E(\bar{X}^2) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

標本分散

まず初めに標本分散の方の期待値を見ていこうと思います.

期待値

期待値の定義から,

\begin{eqnarray}
E(S^2) &=& E \left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] \\
&=& E\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 - \bar{X}^2\right] \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) - E(\bar{X}^2)
\end{eqnarray}

先程求めたモーメントを考慮すると,

 \displaystyle
E(S^2) = \frac{1}{n} \cdot n( \mu^2 + \sigma^2 ) - (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n})
       = \sigma^2 - \frac{\sigma^2}{n}
       = \frac{n-1}{n} \sigma^2
となる.

分散

続いて分散について見ていく. ここでは, \frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} = \frac{nS^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2となる事実を用いる.
自由度n-1カイ二乗分布の分散が2(n-1)であることから,(環境の都合で \sigma^2 = s^2で表記します.)
\begin{eqnarray}
V(\frac{nS^2}{s^2}) &=& 2(n-1) \\
\frac{n^2}{s^4}V(S^2) &=& 2(n-1)\\
V(S^2) &=& \frac{2(n-1)s^4}{n^2}
\end{eqnarray}
よって(表記を戻すと)V(S^2) = \frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}になることが分かる.

※なんか,はてなでeqnarray環境使うとギリシャ文字がうまくいかないんだよなあ...

標本不偏分散

続いて標本不偏分散を見ていきます. といってもやることはほとんど同じ. 標本不偏分散のほうが期待値も分散もきれいになります.

期待値

先ほどと同様に定義からでも求まりますが, U^2 = \frac{n}{n-1}S^2の関係を用いれば,

 {\displaystyle
E(U^2) = E \left( \frac{n}{n-1} S^2 \right) = \frac{n}{n-1} E(S^2) = \frac{n}{n-1} \frac{n-1}{n} \sigma^2 = \sigma^2
}

標本不偏分散なので当然といえば当然.

分散

標本分散の時と同様に\frac{(n-1)U^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2であることを用いる.
{\displaystyle
V(\frac{(n-1)U^2}{\sigma^2}) = 2(n-1) \\
\frac{(n-1)^2}{\sigma^4} V(U^2) = 2(n-1) \\
V(U^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}
}
となる.

※eqnarray環境使わなかったため見た目が悪くなってます.


分散の分散を馬鹿正直にやると4次モーメントまで考えなくてはならなかったり, 式もかなり煩雑になるので, カイ二乗分布から持ってくる方が簡単で便利だと思います.
国沢統計を読んで見ると「4次モーメントを考えると...」という記述があってやろうとしたのですが途中で挫折しました...

Daftでグラフィカルモデルを作成してみる[Python]

森北出版の「Pythonで体験するベイズ推論」を読み進めていたら、2章で、Pythonのdaftというライブラリを用いて、グラフィカルモデルを作っていたのですが、そのソースコードは載っていなかったので自分で作ってみました。

作ったのは以下のグラフィカルモデル

f:id:doratai:20170605163828p:plain


参考にしたのは次のサイト。
daftでグラフィカルモデル
このサイトがかなり詳しく説明してくれています。

ソースコード

import daft
from matplotlib import rc
rc("font", family="Ricty", size=15)
rc("text", usetex="True")

pgm = daft.PGM(shape=[6,6])

# Nodes
pgm.add_node(daft.Node("alpha", r"$\alpha$", 4, 5)) # 名前 ラベル 座標
pgm.add_node(daft.Node("tau", r"$\tau$", 1, 4.5))
pgm.add_node(daft.Node("lambda_1", r"$\lambda_1$", 3, 4))
pgm.add_node(daft.Node("lambda_2", r"$\lambda_2$", 5, 4))
pgm.add_node(daft.Node("lambda",  r"$\lambda$", 2, 3))
pgm.add_node(daft.Node("obs", "obs", 2, 2, observed=True))

# Edges
pgm.add_edge("alpha", "lambda_1")
pgm.add_edge("alpha", "lambda_2")
pgm.add_edge("tau", "lambda")
pgm.add_edge("lambda_1", "lambda")
pgm.add_edge("lambda_2", "lambda")
pgm.add_edge("lambda", "obs")

pgm.render()
pgm.figure.savefig("pymc_p43.png")

多項分布

多項分布

基本性質

確率関数
 \displaystyle
f(x_1,\ldots,x_k) = \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
期待値
 \displaystyle
E(X_i) = np_i
分散
 \displaystyle
V(X_i) = np_i(1-p_i)
共分散
 \displaystyle
Cov (X_i,X_j) = -np_i p_j

確率関数

1回の試行でk通りの可能な結果A_1,\ldots,A_kのいずれか1つのみが生じ、P(A_i) = p_i(i = 1,\ldots,k)とする。この試行を独立にn回繰り返したときに、A_iが生じる回数をX_iとするとき、X_1,\ldots,X_kの同時分布を多項分布といい、その確率関数は以下で与えられる。
$$
f(x_1,\ldots,x_k) = \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
$$

期待値

\begin{eqnarray}
E[X_i] &=& \sum_{i=1}^k x_i \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& \sum_{i=1}^k \frac{n \cdot (n-1)!}{x_1!\cdots (x_i - 1)! \cdots x_k!}p_i \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-1}\cdots p_k^{x_k} \\
&=& np_i \sum_{i=1}^k \frac{(n-1)!}{x_1!\cdots (x_i - 1)! \cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-1}\cdots p_k^{x_k} \\
&=& np_i
\end{eqnarray}

分散

分散を求めるためにまず次の期待値を計算する。
\begin{eqnarray}
E[X_i(X_i - 1)] &=& \sum_{i=1}^k x_i(x_i - 1) \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& \sum_{i=1}^k \frac{n(n-1) \cdot (n-2)!}{x_1! \cdots (x_i-2)! \cdots x_k!} p_i^2 \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-2} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& n(n-1)p_i^2 \sum_{i=1}^k \frac{(n-2)!}{x_1! \cdots (x_i-2)! \cdots x_k!} p_i^2 \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-2} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& n(n-1)p_i^2
\end{eqnarray}
これと、V(X) = E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2であることを用いて分散を求める。
\begin{eqnarray}
V[X_i] &=& E[X_i(X_i-1)] + E[X_i] - E[X_i]^2 \\
&=& n(n-1)p_i^2 + np_i - n^2p_i^2 \\
&=& np_i(1-p_i)
\end{eqnarray}

共分散

期待値、分散のときと同様に計算することで、E(X_i X_j) = n(n-1)p_ip_jが得られるので、

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
Cov(X_i, X_j) &=& E(X_i X_j) - E(X_i)E(X_j) \\
&=& n(n-1)p_i p_j - np_i \cdot np_j \\
&=& -np_i p_j
\end{eqnarray}

多項分布の例

サイコロをn回振ったときに、1の目がでる回数をX_1回。2の目がでる回数をX_2回。・・・6の目がでる回数をX_6回とする。また、それぞれの出る確率をp_i(i = 1,2,\ldots,6)とする。この時、確率ベクトル\boldsymbol{X} = (X_1,\ldots, X_6)'は、多項分布\mathrm{Multi}(n,\{p_i\})に従う。


参考文献

岩沢宏和(2012):『リスクを知るための確率・統計入門』,東京図書

「分かりやすい説明」という聞き手(読み手)の怠慢

「説明力」を求められる理系

最近、世の中から、特に理系に求められる能力として説明力がある。Wikipediaのような集合知、そこそこ専門的な知識でもググれば、その内容(理解できるかは別として)をすぐにでも確認することのできる時代に、専門用語をならべて偉そうに話す専門家の存在意義は薄れてきている(専門家が不要な訳ではない)。私自身、このことに対して、強く賛同している。分かりやすく説明できるということは、その分野に対して深い理解を持っていることの証明でもあるし、そのような説明ができる人間になりたいと考えてる。

 

氾濫する超入門書、内容の薄い○○でも分かる△△学

分かりやすさを求めるのは最早、世の中の大きな流れとなっていることが、書店に並ぶ本を見れば分かる。大きな書店に行けば、理工書がコーナーとしてあると思うが、そこに並ぶ本の中に少なからず、超入門系の本が置かれている。○○超入門!とか、文系でも分かる○○学!などといった本たちだ。目を引きやすい、いかにも優しそうなイメージの表紙に、「もう挫折しない!」みたいな帯がまかれていたりする。これらの本が一定数限りのあるならんでいるということは当然それなりに需要があるからならんでいるのだ。つまり、世の中がそのような本を求めているから、数少ない書店のスペースに、内容の薄さに対して、無駄に厚い超入門書が置かれるのである。

 

これらの本が、本当にわかりやすければいいのだ。数式を用いず、統計学ならば、各手法について、どうしてその手法なのか、どうやって使うのか、その結果は何を意味するのかを懇切丁寧に書いてくれるような書籍が本当の「分かりやすい」本なのではないかと思う。しかし、実際はどうだろう。特に私がよく見るのは統計関連のものだが、この手の本はだいたい、Excelの使い方を指南して終わる。なんか「回帰分析で予想!」みたいなことが書いてあって、Excelで一生懸命回帰分析の結果がでるまでの様子を、写真付き(これが、内容は薄く、本は厚くなる理由である)で説明するのだ。このことにどれほどの価値があるというのだろうか。正直、グーグルで検索したほうがよっぽどいい解説が出てくるだろう。そのレベルの無価値な本に、1600円、2000円なんて、どうして払えるだろうか?それ以上に、限りある書店スペースをそれらの本が占有していることが腹正しい限りだ。

「今」の入門書と「昔」の入門書の違い

分かりやすさが叫ばれるようになり、入門書のイメージも変わってきている。昔の入門書というのは「事前知識なくとも、読み進めることができる」というのが、「入門」の意味であった。例えば、多変量解析の入門書を読み進めるにあたって、行列の知識がかなり必要になってくる。昔の入門書というのは、このような必要な知識を付録として巻末に書いておいてくれる。また、当然、確率分布の定義から始まり、確率密度関数、期待値、分散共分散行列と、一つ一つ必要な知識を厳密に書かれているものであった。その分野の基本を詰めたようなものが入門書の意味するところであったのだ。それに対して、現在の入門書というのは、全く知識がない人に「なんとなくわかった気にさせる」ことが(超)入門書の意味するところになっている気がする。こういうものがあって、これはこう使います!といった、中身をそぎ落としすぎて、用語とExcelの使い方を説明する、「知ったか」を育成することを目的としているんじゃないかと疑いたくなるようなものだ。そもそも、学問というものはそれぞれの分野に一生をかける研究者がいる以上、本一冊読んだ程度で理解できるわけがない。

 

分かりやすさを求めた結果なくなるもの

分かりやすい説明をするためにはそのトレードオフとして「厳密性」が失われる。このことは多くの場合において重要ではないと考えられるが、それが失われることにより、多くの勘違いを生む結果となる。学問における定理、公式には、それが成り立つための「前提条件」というものが往々にして存在する。当然、説明する側はそのことは十分に理解しているだろうし、当然説明するときも、どこかしらで、その前提に触れていることだろう。しかし、聞き手側はどうだろうか。世の中の多くは、理系的な考え方に触れていない人が多く、そのような簡易な説明を求める層の多くはそのような人たちに占められると考えられる。そうなったときに、でかでかとプレゼンテーションで定理の内容が書かれていたのを見た聞き手が前提条件など覚えているだろうか。多くは覚えてなどいないだろう。関心があるのは、その結果にあるのだから。そうなってくると、当然前提条件が無視された定理の乱用が始まる。無価値な分析が世の中にはびこるようになる。統計等はその手法(Excelでなんかすれば結果出てくるし)よりも解釈のほうが難しい。そして、"Excelで分析した感を出した何か"を一生懸命発表するのだ。その結果が本当に正しいか、解釈があっているのかは二の次である。

 

何事も理解するためにはそれなりの努力が必要

分かりやすい説明を求めることは悪いことではない。ビジネスマンは研究者ではないので、少ない時間で概要をつかむ必要があるだろうし、研究者はそれにこたえられるほうがいいに決まっている。学生は、小難しい説明を永遠とされたらその授業に出る気など起きないし、勉強する意欲を失ってしまうだろう。

 

しかし、何を理解するにも、まっさらな状態で、なんとなく聞いていたのでは、いくらわかりやすい説明でも、理解できるわけがないのだ。その説明している人は数年から数十年をその分野にかけている人だろう。その内容の一部を短時間で、興味を持ってもらえるよう、もしくは、あなたが求めている部分だけに絞って説明してくれているのかもしれない。その努力に敬意を払い、自分なりに、理解する努力する必要がある。教えてもらうといった受け身思考ではよくない。学ぶんだという積極性が、たとえ、ガンガン質問にいくといった積極性までは持てなくとも、心持ちだけは積極でなくてはならない。そうでないと「分かりやすい」を追い求めた結果「内容の薄い」本や説明しか残らなくなるだろう(さすがにそんなことはないと思うが)し、そのような説明を聞いたり、その程度の本を読んだところで何も得るものなどない。そうならないためには、聞き手、読み手側にもそれなりの準備、努力が必要だと考える。

 

 

50年くらい前の本と現在本屋にならんでいる本を比べて、最近理論部分をしっかり扱う本が少ない(無いわけではない)気がして、ちょっとした愚痴でした。なんかすいません。