ガンマ(Gamma)関数とガンマ分布
普段勉強していてガンマ関数の取り扱いに難があるのでここにまとめいておこうと思います。
ガンマ関数
定義
$$
\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}dx \;\;\;\;\;(s > 0)
$$
ガンマ関数は上記の式で表されます。 は収束条件です。
特徴
ガンマ関数の主な特徴を列挙していきます。
$$
\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)
$$
の時、
$$
\Gamma(n) = (n-1)!
$$
になる。ただし、
$$
\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}dx = [-\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{\infty} = 1
$$
証明
$$
\begin{eqnarray}
\Gamma (s+1) & = & \int_{0}^{\infty}x^s\mathbb{e}^{-x}dx \\
& = & [x^s(-\mathbb{e}^{-x})]_{0}^{\infty} + s\int_0^{\infty}x^{s-1}\mathbb{e}^{-x}dx \\
& = & s\Gamma (s) \;\;\;\;\; (\because s>0)
\end{eqnarray}
$$
置換
による置換
より、
$$
\Gamma (t) = \int_0^{\infty} u^{2(t-1)} \mathbb{e}^{-u^2} 2udu = 2\int_0^{\infty} u^{2t-1} \mathbb{e}^{-u^2}du
$$
となる。これを用いて
$$
\begin{eqnarray}
\Gamma (\frac{1}{2}) &=& 2\int_0^{\infty} x^{2\frac{1}{2}-1} \mathbb{e}^{-x^2}dx \\
&=& 2\int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-x^2}dx \\
&=& 2\frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
&=& \sqrt{\pi}
\end{eqnarray}
$$
これはよく使われるので覚えておいたほうがいいと思います。
注)
と置く。
$$
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-x^2}dx \int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-y^2}dy \\
&=&\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} \mathbb{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy \\
\end{eqnarray}
$$
ここで、 と置くと。
$$
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-r^2} r drd\theta \\
&=& \frac{\pi}{2}\cdot [-\frac{1}{2}\mathbb{e}^{-r^2}]_0^{\infty} \\
&=& \frac{\pi}{4} \\
\therefore I &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2} \;\;\;\; (\because I > 0)
\end{eqnarray}
$$
ガンマ分布
確率密度関数
定義にガンマ関数が用いるためガンマ分布という。 で表記する。
で正の定数 (パラメータ)をとり、確率変数 の確率密度関数は
$$
f_X(x) = \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x}
$$
で与えられる。
期待値
ガンマ分布の期待値を求めていく。
とする。
$$
\begin{eqnarray}
E(X) &=& \int_0^{\infty}x\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} \int_0^{\infty}x^a \mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}(\frac{u}{\lambda})^a \mathbb{e}^{-u} \frac{1}{\lambda}du \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{1}{\lambda^{a+1}}\int_0^{\infty}u^a \mathbb{e}^{-u}du \\
&=& \frac{1}{\lambda} \frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma(a)} \\
&=& \frac{a}{\lambda}
\end{eqnarray}
$$
となる。
分散
次に分散を求めていく。
$$
\begin{eqnarray}
E(X^2) &=& \int_0^{\infty}x^2\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x} \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}x^{a+1}\mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(a+2)}{\lambda^{a+2}} \\
&=& \frac{a(a+1)}{\lambda^2} \\
\therefore \;\;\; V(X) &=& E(X^2) -(E(X))^2 \\
&=& \frac{a(a+1)}{\lambda^2} - \frac{a^2}{\lambda^2} \\
&=& \frac{a}{\lambda^2}
\end{eqnarray}
$$
積率母関数
$$
m_X(t) = (\frac{\lambda}{\lambda - t})^a
$$
で与えられる。
導出
$$
\begin{eqnarray}
m_X(t) &=& E(\mathbb{e}^{tX}) \\
&=& \int_0^{\infty} \mathbb{e}^{tx}\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}x^{a-1}\mathbb{e}^{-(\lambda-t)x}dx \\
&=&\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}(\frac{u}{\lambda-t})^{a-1}\mathbb{e}^{-u}\frac{du}{\lambda-t} \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(a)}{(\lambda-t)^a} \\
&=& (\frac{\lambda}{\lambda-t})^a
\end{eqnarray}
$$