2016-02-29 正規分布 統計学 連続型モデルで、統計確率の中でも最も有名で重要な分布である正規分布について。正規分布は で表される。 確率密度関数 確率密度関数は上記で表される。平均は 分散が また、 の時、標準正規分布と呼ばれ、で確率密度関数は表される。 標準化 標準化を行うことで標準正規分布に直すことが可能。 最尤推定量 最尤推定量は以下で与えられる。証明 ともに未知の場合について考える。尤度関数 はまたこれより対数尤度関数はであるので、 最大たらしめるに連立方程式を解く。(1)式からこれと及び、(2)式からを得る。よって最尤推定量は 積率母関数 正規分布 の積率母関数はで与えられる。証明 標準正規分布の場合はである。 再生性 証明 をそれぞれ に従う独立な確率変数とする。 正規分布の積率母関数は先に示したとおり。より は に従う。またより、 は に従う。 これらを一般化して、一次結合 は に従うことがわかる。 グラフ グラフの外観は以下のようになっている。(EXCELで作成) 参考文献 鈴木武・山田作太郎(2006)『数理統計学-基礎から学ぶデータ解析-』内田老鶴圃. 国沢清典(2012)『確率統計演習2-統計』培風館. 稲垣宣生(2013)『数理統計学』(数学シリーズ)裳華房.