可測関数
空間 と
-加法族
の組、つまりは可測空間
を考える。
とする。
定義
が次の条件を満たす時、
は
-可測関数でるという。
$$
\{\omega\in\Omega;f(\omega)\le a\} \in \mathcal{F} \;\;\;\;\;(\forall a\in \mathbb{R})
$$
ここで、少し表記を省略して、例えば上記の式を と書く事にする。 上の定義から以下が全て同値であることが導ける。
$$
\begin{eqnarray}
(1)&f:\mathcal{F}-可測関数 &&;\\
(2)&\{f \ge a\} \in \mathcal{F} & (\forall a \in \mathbb{R}) & ; \\
(3)&\{f < a\} \in \mathcal{F} & (\forall a \in \mathbb{R}) & ; \\
(4)&\{f > a\} \in \mathcal{F} & (\forall a \in \mathbb{R}) & ; \\
(5)&f^{-1}(B)\in \mathcal{F} &(\forall B \in \mathfrak{B}) & かつ \{f=+\infty\},\{f=-\infty\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$
証明
以上により が示された。
$$
\begin{eqnarray}
(5)\Rightarrow(1)&:& \{f \le a\}=f^{-1}((-\infty,a])\cup\{f=-\infty\} \in \mathcal{F} \;\; (\forall a \in \mathbb{R}) \\
(1)かつ(4)\Rightarrow (5) &:& f^{-1}((a,b])=\{f>a\}\cap\{f\le b\} \in \mathcal{F} \;\; (\forall a \in \mathbb{R})
\end{eqnarray}
$$
より示された。
各種演算
次に をいづれも
-可測関数として、
とする。次の関数が定義されるならば、いずれも
-可測関数である。
(1)
任意の に対して
$$
\begin{eqnarray}
\alpha=0 &\Rightarrow& \{\alpha f \le a\}=
\left\{
\begin{array}{l}
\phi \in \mathcal{F} \;\; (a<0)\\
\Omega \in \mathcal{F} \;\; (a\ge 0)
\end{array}
\right. \\
\alpha > 0 &\Rightarrow& \{\alpha f \le a\} = \{f\le \frac{a}{\alpha}\} \in \mathcal{F} \\
\alpha < 0&\Rightarrow& \{\alpha f \le a\} = \{f \ge \frac{a}{\alpha}\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$
の値は任意であることを思い出すと良い。つまり任意であるから
でも良い。
(2)
とする。
$$
\begin{eqnarray}
\{f + g < a\} &=& \{f < a - g\} \\
&=& \cup_{n=1}^{\infty}\{f < r_n < a - g\} \\
&=& \cup_{n=1}^{\infty}(\{f < r_n\}\cap\{g < a - r_n\}) \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$
(3)
に対して
$$
\{f^2\le a\} =
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{ll}
\{-\sqrt{a} \le f \le \sqrt{a}\} \in \mathcal{F} & (a \ge 0) \\
\phi \in \mathcal{F} & (a < 0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
であるから、 は
-可測関数である。
$$
\therefore \;\; fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}
$$
も -可測関数である。
(4)
に対して
$$
\{\frac{1}{f} \le a\}=(\{f>0\}\cap\{af\ge1\})\cup(\{f<0\}\cap\{af\le 1\})\in \mathcal{F}
$$
(5)
$$
\{|f|\le a\}=
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{cl}
-f\le a \le f \in \mathcal{F} & (a \ge 0) \\
\phi \in \mathcal{F} & (a < 0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
(6)
に対して
$$
\{\sup_{n\ge 1} f_n \le a\} = \cap_{n=1}^{\infty}\{f_n \le a\} \in \mathcal{F}
$$
(7)
より示される。
(8)
定義
から、これも -可測関数
(9)
同様に定義
からわかる。
(10) 極限の定義から、数列が極限を持つのは、上極限と下極限が一致した時であるから、明らか。
$$
\lim_{n\to\infty}f_n=\liminf_{n\to\infty}f_n=\limsup_{n\to\infty}f_n
$$
(11)
に対して
$$
\begin{eqnarray}
\{f\lor g \le a\}&=&\{\max\{f,g\}\le a\} \\
&=& \{f\le a\}\cap\{g\le a\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$
(12)
に対して
$$
\begin{eqnarray}
\{f\land g \le a\}&=& \{\min\{f,g\}\le a\} \\
&=& \{f\le a\}\cup\{g\le a\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$
(13)
に対して
$$
\{\sqrt{f}\le a\}=
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{cl}
\{0\le f \le a^2\} \in \mathcal{F} & (a\ge 0) \\
\phi \in \mathcal{F} & (a < 0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
より は可測関数。
