平均μ、分散σ^2共に未知の場合の尤度比検定(正規分布)

この検定方法の導出がなかなかに骨が折れるものでした...
定着のためにも載せておこうと思います。

尤度比検定

ここで用いる尤度比検定の基本的な内容については以下を参照してください
doratai.hatenablog.com尤度比検定 - 統計,確率のお勉強

問題

正規母集団の平均に関する検定において、母分散 $\sigma^2$ を未知としたとき、以下の検定問題

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H_0 : \mu = \mu_0 \\
H_1 : \mu \neq \mu_0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
の検定方法を導く。

導出

ともに未知の平均と分散 $\mu,\sigma^2$ の正規母集団からの互いに独立した標本を $X_1,X_2,\ldots,X_n$ とし、有意水準は $\alpha$ とする。
正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ にしたがっているので、母集団の分布は

$f(x;\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \exp(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2})$

で与えられる。尤度比を $\lambda$ とすると、
${ \begin{eqnarray} \lambda & = & \frac{\max_{\sigma^2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(x_i-\mu_0)^2}{2\sigma^2})}{\max_{\mu,\sigma^2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}) } \\ & = & \frac{\{ (\frac{1}{2\pi \hat{\sigma}_0^2})^{\frac{n}{2}} \exp(-\frac{1}{2\hat{\sigma}_0^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu_0)^2) \}_{\hat{\sigma}_0^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu_0)^2}}{\{ (\frac{1}{2\pi \hat{\sigma}_1^2})^{\frac{n}{2}} \exp(-\frac{1}{2\hat{\sigma}_1^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2) \}_{\hat{\sigma}_1^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}} \\ & = & ( \frac{\hat{\sigma}_1^2}{\hat{\sigma}_0^2})^{\frac{n}{2}} \\ & = & ( \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2} )^{\frac{n}{2}} \\ & = & (\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x} + \bar{x} - \mu_0)^2})^{\frac{n}{2}} \\ & = & (\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{\sum (x_i-\bar{x})^2 + n(\bar{x}-\mu_0)^2})^{\frac{n}{2}} \\ & = & (\frac{1}{1+ \frac{(\bar{x}-\mu_0)^2}{\frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2}})^{\frac{n}{2}} \\ \end{eqnarray} }$

ここで、 $t^2 = (\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n-1}})^2, s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$ として

${ \begin{eqnarray} \lambda & = & (\frac{1}{1+(\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n-1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n-1}})^2})^{\frac{n}{2}} \\ & = & (\frac{1}{1+\frac{t^2}{n-1}})^{\frac{n}{2}} \end{eqnarray} }$

となる。よって棄却域 $W^*$ は

${ \begin{eqnarray} W^* & = & \{ (X_1,\ldots,X_n) ; \lambda < k \} \\ & = & \{ (X_1,\ldots,X_n); (\frac{1}{1+\frac{t^2}{n-1}})^{\frac{n}{2}} < k \} \\ & = & \{ (X_1,\ldots,X_n); 1+\frac{t^2}{n-1} > k^{-\frac{2}{n}}\} \\ & = & \{ (X_1,\ldots,X_n); |t| > \sqrt{(k^{-\frac{2}{n}}-1)(n-1)} = c \} \end{eqnarray} }$