定義
互いに独立な標本に対して
検定問題
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H_0 : \theta \in \Theta_0 \\
H_1 : \theta \in \Theta_1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を考えたとき、最良な棄却域の選び方として
\begin{equation}
\forall \theta_0 \in \Theta_0,\beta_{W^*} (\theta_0) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W^* | \theta_0 \in \Theta_0) = \alpha
\end{equation}
かつ
\begin{equation}
\forall W, \forall \theta_1 \in \Theta_1,\beta_{W^*} (\theta_1) \ge \beta_W (\theta_1)
\end{equation}
を満たす一様最強力棄却域によって定まる検定を一様最強力検定という。
内容
※覚えておきたいこと
検定を決める = 棄却域を決める
何を言っているのかというと、どのような棄却域よりも、検出力が大きい。
つまり、検出力が最大となるような棄却域(一様最強力棄却域)を用いて行われる検定が
他の棄却域を用いる検定に比べ最も良いということが言いたいのである。
最初のやつは有意水準に関する言及であり、メインは後者の方である。後者の式を言い直すと、
「任意のどのような棄却域をとってきたとしても、その検出力は、最強力棄却域による検出力以下である」
ということである。
また、後者の式を変形すると
\begin{eqnarray}
\beta_{W^*} (\theta_1) & \ge & \beta_W (\theta_1) \\
P((X_1,\ldots,X_n) \in W^* | \theta_1 \in \Theta_1) & \ge & P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta_1 \in \Theta_1) \\
1-P((X_1,\ldots,X_n) \notin W^* | \theta_1 \in \Theta_1) & \ge & 1-P((X_1,\ldots,X_n) \notin W | \theta_1 \in \Theta_1) \\
P((X_1,\ldots,X_n) \notin W^* | \theta_1 \in \Theta_1) & \le & P((X_1,\ldots,X_n) \notin W | \theta_1 \in \Theta_1)
\end{eqnarray}