第1種の誤りと第2種の誤り
検定で必ず出てくる第1種の誤りと第2種の誤りについて確認する。
第1種の誤り・・・帰無仮説が正しいにも関わらず、
を棄却してしまう誤り
第2種の誤り・・・対立仮説が正しいにも関わらず、
を採択してしまう誤り
となる。
通常、第1種の誤りよりも第2種の誤りの方が重大である。
検出力関数の定義
統計の参考書を読んでいると、数理統計学を扱う参考書ですら、
検出力という単語はでるものの、検出力関数という単語があまり出てこない。
(これを書いている時、私もそれで困っている。)
私が持っている参考書によると
検定関数をとして
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H_0 : \theta \in \Theta_0 \\
H_1 : \theta \in \Theta_1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
の検定問題を考えた時、対立仮説が正しい時に
\begin{equation}
\beta (\theta; \varphi) := E_{\theta} (\varphi (\boldsymbol{X})) \;\; (\theta \in \Theta_1)
\end{equation}
はを受容する確率を表している。
つまりは検定の良さを表しており、
これをの検出力という。
を
の関数と見たとき、
を
の検出力関数と呼ぶ。
授業を受けたのでそれによると
検出力関数(power function)・・・棄却域を与えて、帰無仮説
を棄却(reject)する確率
で与えられ、
\begin{equation}
\beta_W(\theta) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta \in \Theta)
\end{equation}
で定義される。
1.特にの時、
を検出力(power)という
\begin{equation}
\beta_W(\theta_1) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta_1 \in \Theta_1) \;\; \gets (大きいほうがよい) \\
= 1 - P((X_1,\ldots,X_n) \notin W | \theta_1 \in \Theta_1)\; \gets (第2種の誤り)
\end{equation}
2.特にの時
\begin{equation}
\beta_W(\theta_0) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta_0 \in \Theta_0) \;\; \gets (第1種の誤り)
\end{equation}
