Neyman-Pearson(ネイマン・ピアソン)の基本定理

一般

確率ベクトル(標本確率変数) $\boldsymbol{X} = (X_1,X_2,\ldots,X_n)$ は分布 $P_{\theta}, \theta \in \Theta$ に従うとし、
分布 $P_\theta$ の確率(密度)関数を $f(\boldsymbol{x};\theta) (= \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta))$ とする。
この時、検定問題

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H_0 : \theta = \theta_0 (単純仮説) \\
H_1 : \theta = \theta_1 (単純仮説)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

に対する有意水準 $\alpha(0\le \alpha \le 1)$ の最強力検定 $\varphi_0(\boldsymbol{x})$ は次式で与えられる。
(※ $\varphi(\boldsymbol{x})$ のことを検定関数という)

\begin{eqnarray}
\varphi_0(\boldsymbol{x}) =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & if \;\; f(\boldsymbol{x};\theta_1) > kf(\boldsymbol{x};\theta_0) \\
\gamma & if \;\; f(\boldsymbol{x};\theta_1) = kf(\boldsymbol{x};\theta_0) \\
0 & if \;\; f(\boldsymbol{x};\theta_1) < kf(\boldsymbol{x};\theta_0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

ここで、定数 $\gamma(0 \le \gamma \le 1), k (\ge 0)$ は次式から定まるものである。
\begin{equation}
E_{\theta_0} ( \varphi(\boldsymbol{X}) ) = \alpha
\end{equation}

以上がNeyman-Pearsonの基本定理である。これだけではなんのことかわからないので、もう少しわかりやすく書いていくことにする。

つまりは...

大きさnの無作為に抽出された独立な標本 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ について、帰無仮説、対立仮説共に単純仮説である検定問題

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H_0 : \theta = \theta_0 (単純仮説) \\
H_1 : \theta = \theta_1 (単純仮説)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

に対して、最強力棄却域 $R^*$ はが以下で与えられる。

\begin{equation}
R^* = \{ (X_1,X_2,\ldots,X_n) ; \frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta_0)} > c \} , c>0
\end{equation}

ただしこの時、 $c$ は以下により決まる( $\alpha$ は有意水準)

\begin{eqnarray}
P((X_1,X_2,\ldots,X_n) \in R^* | \theta = \theta_0) & = & P(第1種の誤りがおこる) \\
& = & \int \ldots \int_{R^*} \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta_0)dx_1 \ldots dx_n \\
& = & \alpha
\end{eqnarray}

上記二つを行うことで最強力棄却域が求まることを、Neyman-Pearsonの基本定理は言っているのである。
この最強力棄却域の基づく検定のことを最強力検定と呼び、Neyman-Pearsonの基本定理を用いることで、
帰無仮説、対立仮説がともに単純仮説の際、最強力検定を求めることができるのである。

以下のことを覚えておきたい。
検定関数 $\varphi(\boldsymbol{x})$ を決める $\Leftrightarrow$ 棄却域 $R$ を決める

対立仮説が複合の場合でも活躍するNeyman-Pearonの定理

Neyman-Pearsonの定理は基本単純仮説同士の検定に用いられるが、対立仮説が以下のような場合にも応用することができる。
帰無仮説 $H_0 : \mu = \mu_0$
対立仮説 $H_1 : \mu > \mu_0 または \mu < \mu_0$
このような対立仮説の検定問題の場合、 $\mu > \mu_0(または \mu < \mu_0)$ を満たすような任意の $\mu_1$ を用いて
単純仮説に帰着することで、Neyman-Pearsonの基本定理を応用することができる。