多項分布
基本性質
確率関数
期待値
分散
共分散
確率関数
1回の試行でk通りの可能な結果のいずれか１つのみが生じ、
とする。この試行を独立にn回繰り返したときに、
が生じる回数を
とするとき、
の同時分布を多項分布といい、その確率関数は以下で与えられる。
$$
f(x_1,\ldots,x_k) = \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
$$
期待値
\begin{eqnarray}
E[X_i] &=& \sum_{i=1}^k x_i \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& \sum_{i=1}^k \frac{n \cdot (n-1)!}{x_1!\cdots (x_i - 1)! \cdots x_k!}p_i \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-1}\cdots p_k^{x_k} \\
&=& np_i \sum_{i=1}^k \frac{(n-1)!}{x_1!\cdots (x_i - 1)! \cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-1}\cdots p_k^{x_k} \\
&=& np_i
\end{eqnarray}
分散
分散を求めるためにまず次の期待値を計算する。
\begin{eqnarray}
E[X_i(X_i - 1)] &=& \sum_{i=1}^k x_i(x_i - 1) \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& \sum_{i=1}^k \frac{n(n-1) \cdot (n-2)!}{x_1! \cdots (x_i-2)! \cdots x_k!} p_i^2 \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-2} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& n(n-1)p_i^2 \sum_{i=1}^k \frac{(n-2)!}{x_1! \cdots (x_i-2)! \cdots x_k!} p_i^2 \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-2} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& n(n-1)p_i^2
\end{eqnarray}
これと、であることを用いて分散を求める。
\begin{eqnarray}
V[X_i] &=& E[X_i(X_i-1)] + E[X_i] - E[X_i]^2 \\
&=& n(n-1)p_i^2 + np_i - n^2p_i^2 \\
&=& np_i(1-p_i)
\end{eqnarray}
共分散
期待値、分散のときと同様に計算することで、が得られるので、
多項分布の例
サイコロをn回振ったときに、１の目がでる回数を回。２の目がでる回数を
回。・・・６の目がでる回数を
回とする。また、それぞれの出る確率を
とする。この時、確率ベクトル
は、多項分布
に従う。
参考文献
岩沢宏和(2012)：『リスクを知るための確率・統計入門』,東京図書
