統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

多項分布

多項分布

基本性質

確率関数
 \displaystyle
f(x_1,\ldots,x_k) = \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
期待値
 \displaystyle
E(X_i) = np_i
分散
 \displaystyle
V(X_i) = np_i(1-p_i)
共分散
 \displaystyle
Cov (X_i,X_j) = -np_i p_j

確率関数

1回の試行でk通りの可能な結果A_1,\ldots,A_kのいずれか1つのみが生じ、P(A_i) = p_i(i = 1,\ldots,k)とする。この試行を独立にn回繰り返したときに、A_iが生じる回数をX_iとするとき、X_1,\ldots,X_kの同時分布を多項分布といい、その確率関数は以下で与えられる。
$$
f(x_1,\ldots,x_k) = \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
$$

期待値

\begin{eqnarray}
E[X_i] &=& \sum_{i=1}^k x_i \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& \sum_{i=1}^k \frac{n \cdot (n-1)!}{x_1!\cdots (x_i - 1)! \cdots x_k!}p_i \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-1}\cdots p_k^{x_k} \\
&=& np_i \sum_{i=1}^k \frac{(n-1)!}{x_1!\cdots (x_i - 1)! \cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-1}\cdots p_k^{x_k} \\
&=& np_i
\end{eqnarray}

分散

分散を求めるためにまず次の期待値を計算する。
\begin{eqnarray}
E[X_i(X_i - 1)] &=& \sum_{i=1}^k x_i(x_i - 1) \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& \sum_{i=1}^k \frac{n(n-1) \cdot (n-2)!}{x_1! \cdots (x_i-2)! \cdots x_k!} p_i^2 \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-2} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& n(n-1)p_i^2 \sum_{i=1}^k \frac{(n-2)!}{x_1! \cdots (x_i-2)! \cdots x_k!} p_i^2 \cdot p_1^{x_1} \cdots p_i^{x_i-2} \cdots p_k^{x_k} \\
&=& n(n-1)p_i^2
\end{eqnarray}
これと、V(X) = E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2であることを用いて分散を求める。
\begin{eqnarray}
V[X_i] &=& E[X_i(X_i-1)] + E[X_i] - E[X_i]^2 \\
&=& n(n-1)p_i^2 + np_i - n^2p_i^2 \\
&=& np_i(1-p_i)
\end{eqnarray}

共分散

期待値、分散のときと同様に計算することで、E(X_i X_j) = n(n-1)p_ip_jが得られるので、

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
Cov(X_i, X_j) &=& E(X_i X_j) - E(X_i)E(X_j) \\
&=& n(n-1)p_i p_j - np_i \cdot np_j \\
&=& -np_i p_j
\end{eqnarray}

多項分布の例

サイコロをn回振ったときに、1の目がでる回数をX_1回。2の目がでる回数をX_2回。・・・6の目がでる回数をX_6回とする。また、それぞれの出る確率をp_i(i = 1,2,\ldots,6)とする。この時、確率ベクトル\boldsymbol{X} = (X_1,\ldots, X_6)'は、多項分布\mathrm{Multi}(n,\{p_i\})に従う。


参考文献

岩沢宏和(2012):『リスクを知るための確率・統計入門』,東京図書

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