一般逆行列の定義と存在 - 統計・確率のお勉強

大学教養レベルで扱う線形代数では、逆行列は「正則行列(非特異行列)」である必要があり、 $\mathrm{rank}$ がフルランクであることが逆行列を持つ必要十分条件であった。しかし、行列が特異(逆行列を持たない、フルランクでない)である場合でも、逆行列を持つように、逆行列を拡張した、一般逆行列というものが存在する。統計学の中でも多変量解析などの分野では行列を多用するため、行列の話題というのは非常関心の高いものになる。そのような分野における、一般逆行列の利用は今や日常茶飯事らしいので、定義くらいは知っておきたい。

定義

$m \times n$ 行列 $\boldsymbol{A}$ の一般逆行列(generalized inverse)とは
$$
\boldsymbol{AGA} = \boldsymbol{A}
$$
を満たす、任意の $n \times m$ 行列 $\boldsymbol{G}$ のことである。
※一般逆行列の他に擬似逆行列、条件付き逆行列という用語で呼ばれることも多い
実際、 $\boldsymbol{A}$ が非特異である場合は $\boldsymbol{G} = \boldsymbol{A}^{-1}$ であるので、 $\boldsymbol{AGA} = \boldsymbol{AA}^{-1}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}$ となっている。

一般逆行列の存在

次に気になるのが、この「一般逆行列」が存在するのかどうかである。結論としては

あらゆる行列は少なくとも1つの一般逆行列を持つ。

これは次の定理で証明される。

定理

$\boldsymbol{B}$ を最大列階数の $m \times r$ 行列。 $\boldsymbol{T}$ を最大行階数の $r \times n$ 行列とする。この時、 $\boldsymbol{B}$ は左逆行列 $\boldsymbol{L}$ を持ち、 $\boldsymbol{T}$ は右逆行列 $\boldsymbol{R}$ を持つ。そして、 $\boldsymbol{RL}$ は $\boldsymbol{BT}$ の一般逆行列である。

証明

$\boldsymbol{B}$ が左逆行列 $\boldsymbol{L}$ を持ち、 $\boldsymbol{T}$ が右逆行列 $\boldsymbol{R}$ を持つことは既知としよう。この時、一般逆行列の定義から
$$
\boldsymbol{BT}(\boldsymbol{RL})\boldsymbol{BT} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{TR})(\boldsymbol{LB})\boldsymbol{T} = \boldsymbol{BT}
$$
である。すなわち、 $\boldsymbol{RL}$ は $\boldsymbol{BT}$ の一般逆行列である。
今、任意の $m \times n$ 行列 $\boldsymbol{A}$ を考える。 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{0}$ であるならば、明らかに任意の $n \times m$ 行列は $\boldsymbol{A}$ の一般逆行列である。 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{0}$ であるならば、 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{BT}$ を満たす最大列階数の行列 $\boldsymbol{B}$ と最大列階数の行列 $\boldsymbol{T}$ が存在する。したがって、「あらゆる行列は少なくとも1つの一般逆行列を持つ」という結論を得る。