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統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

ガンマ(Gamma)関数とガンマ分布

f:id:doratai:20160505215746p:plain
普段勉強していてガンマ関数の取り扱いに難があるのでここにまとめいておこうと思います。

ガンマ関数

定義

$$
\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}dx \;\;\;\;\;(s > 0)
$$

ガンマ関数は上記の式で表されます。 s>0 は収束条件です。

特徴

ガンマ関数の主な特徴を列挙していきます。

$$
\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)
$$

n \in \mathbb{N} の時、

$$
\Gamma(n) = (n-1)!
$$

になる。ただし、

$$
\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}dx = [-\mathrm{e}^{-x}]_{0}^{\infty} = 1
$$

証明
$$
\begin{eqnarray}
\Gamma (s+1) & = & \int_{0}^{\infty}x^s\mathbb{e}^{-x}dx \\
& = & [x^s(-\mathbb{e}^{-x})]_{0}^{\infty} + s\int_0^{\infty}x^{s-1}\mathbb{e}^{-x}dx \\
& = & s\Gamma (s) \;\;\;\;\; (\because s>0)
\end{eqnarray}
$$

置換

x = u^2 による置換
dx = 2udu より、
$$
\Gamma (t) = \int_0^{\infty} u^{2(t-1)} \mathbb{e}^{-u^2} 2udu = 2\int_0^{\infty} u^{2t-1} \mathbb{e}^{-u^2}du
$$

となる。これを用いて

$$
\begin{eqnarray}
\Gamma (\frac{1}{2}) &=& 2\int_0^{\infty} x^{2\frac{1}{2}-1} \mathbb{e}^{-x^2}dx \\
&=& 2\int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-x^2}dx \\
&=& 2\frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
&=& \sqrt{\pi}
\end{eqnarray}
$$

これはよく使われるので覚えておいたほうがいいと思います。

注)

I = \int_0^{\infty} e^{-x^2}dx と置く。

$$
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-x^2}dx \int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-y^2}dy \\
&=&\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} \mathbb{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy \\
\end{eqnarray}
$$

ここで、x = r\cos \theta, y = r\sin \theta と置くと。

$$
\begin{eqnarray}
I^2 &=& \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\infty}\mathbb{e}^{-r^2} r drd\theta \\
&=& \frac{\pi}{2}\cdot [-\frac{1}{2}\mathbb{e}^{-r^2}]_0^{\infty} \\
&=& \frac{\pi}{4} \\
\therefore I &=& \frac{\sqrt{\pi}}{2} \;\;\;\; (\because I > 0)
\end{eqnarray}
$$

ガンマ分布

確率密度関数

定義にガンマ関数が用いるためガンマ分布という。 \Gamma(a,\lambda) で表記する。
P(0 < X < \infty) = 1 で正の定数 a, \lambda (パラメータ)をとり、確率変数 X確率密度関数


$$
f_X(x) = \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x}
$$

で与えられる。

再生性

ガンマ分布は再生性を持ち、X~\Gamma(a,\lambda), Y~\Gamma(b, \lambda) で独立のとき

$$
X + Y ~ \Gamma(a+b,\lambda)
$$

となる。積率母関数を用いて求める。

期待値

ガンマ分布の期待値を求めていく。
X~\Gamma(a,\lambda) とする。

$$
\begin{eqnarray}
E(X) &=& \int_0^{\infty}x\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} \int_0^{\infty}x^a \mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}(\frac{u}{\lambda})^a \mathbb{e}^{-u} \frac{1}{\lambda}du \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{1}{\lambda^{a+1}}\int_0^{\infty}u^a \mathbb{e}^{-u}du \\
&=& \frac{1}{\lambda} \frac{\Gamma{(a+1)}}{\Gamma(a)} \\
&=& \frac{a}{\lambda}
\end{eqnarray}
$$

となる。

分散

次に分散を求めていく。

$$
\begin{eqnarray}
E(X^2) &=& \int_0^{\infty}x^2\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x} \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}x^{a+1}\mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(a+2)}{\lambda^{a+2}} \\
&=& \frac{a(a+1)}{\lambda^2} \\
\therefore \;\;\; V(X) &=& E(X^2) -(E(X))^2 \\
&=& \frac{a(a+1)}{\lambda^2} - \frac{a^2}{\lambda^2} \\
&=& \frac{a}{\lambda^2}
\end{eqnarray}
$$

積率母関数

積率母関数

$$
m_X(t) = (\frac{\lambda}{\lambda - t})^a
$$

で与えられる。

導出
$$
\begin{eqnarray}
m_X(t) &=& E(\mathbb{e}^{tX}) \\
&=& \int_0^{\infty} \mathbb{e}^{tx}\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x}dx \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}x^{a-1}\mathbb{e}^{-(\lambda-t)x}dx \\
&=&\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\int_0^{\infty}(\frac{u}{\lambda-t})^{a-1}\mathbb{e}^{-u}\frac{du}{\lambda-t} \\
&=& \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{\Gamma(a)}{(\lambda-t)^a} \\
&=& (\frac{\lambda}{\lambda-t})^a
\end{eqnarray}
$$

まとめ

確率密度関数 積率母関数 期待値 分散
\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}\mathbb{e}^{-\lambda x} (\frac{\lambda}{\lambda - t})^a \frac{a}{\lambda} \frac{a}{\lambda^2}
参考文献

藤田岳彦(2014)『弱点克服 大学生の確率・統計』東京図書
江川博康(2014)『弱点克服 大学生の微積分』東京図書

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