統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

定義関数,単純可測関数

定義関数

定義

A \subset \Omega に対して

$$
\begin{eqnarray}
1_A(\omega) \equiv \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (\omega \in A) \\
0 & (\omega \in A)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

と定めると、この関数 1_A定義関数という。

単純可測関数

f:\Omega \to \mathbb{R} に対して、a_1,a_2,\ldots,a_k \in \mathbb{R} 及び \Omega の有限分割 \{A_1,A_2,\ldots,A_n\} が存在して

$$
f(\omega)=\sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}(\omega)
$$

と表せるとき、 f単純可測関数であるという。

定理

任意の可測関数 f:\Omega \to [0,+\infty] に対して、単純可測関数の単調増加列 \{f_n\} が存在して, f=\lim_{n \to \infty} f_n である。

証明は少し面倒なので省略。気になる方はルベーグ積分を扱っている参考書を買ったり借りたりして調べて見てください。以後、積分の性質に関するところの証明の可測関数の場合でよく出てきます。

短いですが今回はここまで。

参考文献

梅垣壽春,大矢雅則,塚田真(2015)『測度・積分・確率』共立出版株式会社

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