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統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

可測関数

可測関数

空間 \Omega\sigma-加法族 \mathcal{F} の組、つまりは可測空間 (\Omega,\mathcal{F}) を考える。\bar{\mathbb{R}}=\{\mathbb{R},\pm\infty\} とする。

定義

f:\Omega \to \bar{\mathbb{R}} が次の条件を満たす時、f\mathcal{F} -可測関数でるという。

$$
\{\omega\in\Omega;f(\omega)\le a\} \in \mathcal{F} \;\;\;\;\;(\forall a\in \mathbb{R})
$$

ここで、少し表記を省略して、例えば上記の式を \{f \le a\} \in \mathcal{F} と書く事にする。 上の定義から以下が全て同値であることが導ける。

$$
\begin{eqnarray}
(1)&f:\mathcal{F}-可測関数 &&;\\
(2)&\{f \ge a\} \in \mathcal{F} & (\forall a \in \mathbb{R}) & ; \\
(3)&\{f < a\} \in \mathcal{F} & (\forall a \in \mathbb{R}) & ; \\
(4)&\{f > a\} \in \mathcal{F} & (\forall a \in \mathbb{R}) & ; \\
(5)&f^{-1}(B)\in \mathcal{F} &(\forall B \in \mathfrak{B}) & かつ \{f=+\infty\},\{f=-\infty\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$

証明
(1)\Rightarrow(4) : \{f > a\} = \{f \le a\}^c \in \mathcal{F} \;\; (\forall a \in \mathbb{R}) ;
(4)\Rightarrow(2) : \{f\ge a\} = \cap_{n=1}^{\infty}\{f>a-\frac{1}{n}\}\in \mathcal{F}\;\; (\forall a \in \mathbb{R}) ;
(2)\Rightarrow(3) : \{f < a\}=\{f \ge a\}^c \in \mathcal{F} \;\; (\forall a \in \mathbb{R}) ;
(3)\Rightarrow(1) : \{f\le a\}=\cap_{n=1}^{\infty}\{f < a + \frac{1}{n}\} \in \mathcal{F} \;\; (\forall a \in \mathbb{R})

以上により (1)\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)\Leftrightarrow(4)が示された。

$$
\begin{eqnarray}
(5)\Rightarrow(1)&:& \{f \le a\}=f^{-1}((-\infty,a])\cup\{f=-\infty\} \in \mathcal{F} \;\; (\forall a \in \mathbb{R}) \\
(1)かつ(4)\Rightarrow (5) &:& f^{-1}((a,b])=\{f>a\}\cap\{f\le b\} \in \mathcal{F} \;\; (\forall a \in \mathbb{R})
\end{eqnarray}
$$

より示された。

各種演算

次に f,g,f_n(n=1,2,3.\ldots) をいづれも \mathcal{F} -可測関数として、\alpha \in \mathbb{R} とする。次の関数が定義されるならば、いずれも \mathcal{F}-可測関数である。

(1)\alpha f
任意の a\in \mathbb{R} に対して

$$
\begin{eqnarray}
\alpha=0 &\Rightarrow& \{\alpha f \le a\}=
\left\{
\begin{array}{l}
\phi \in \mathcal{F} \;\; (a<0)\\
\Omega \in \mathcal{F} \;\; (a\ge 0)
\end{array}
\right. \\
\alpha > 0 &\Rightarrow& \{\alpha f \le a\} = \{f\le \frac{a}{\alpha}\} \in \mathcal{F} \\
\alpha < 0&\Rightarrow& \{\alpha f \le a\} = \{f \ge \frac{a}{\alpha}\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$

a の値は任意であることを思い出すと良い。つまり任意であるから a=\frac{a}{\alpha} でも良い。

(2) f+g

\mathcal{Q}=\{r_1,r_2,\ldots\} とする。

$$
\begin{eqnarray}
\{f + g < a\} &=& \{f < a - g\} \\
&=& \cup_{n=1}^{\infty}\{f < r_n < a - g\} \\
&=& \cup_{n=1}^{\infty}(\{f < r_n\}\cap\{g < a - r_n\}) \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$

(3) fg
\forall a \in \mathbb{R} に対して

$$
\{f^2\le a\} =
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{ll}
\{-\sqrt{a} \le f \le \sqrt{a}\} \in \mathcal{F} & (a \ge 0) \\
\phi \in \mathcal{F} & (a < 0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

であるから、 f^2\mathcal{F} -可測関数である。

$$
\therefore \;\; fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}
$$

\mathcal{F} -可測関数である。

(4) \frac{1}{f}
\forall a \in \mathcal{F} に対して

$$
\{\frac{1}{f} \le a\}=(\{f>0\}\cap\{af\ge1\})\cup(\{f<0\}\cap\{af\le 1\})\in \mathcal{F}
$$

(5) |f|

$$
\{|f|\le a\}=
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{cl}
-f\le a \le f \in \mathcal{F} & (a \ge 0) \\
\phi \in \mathcal{F} & (a < 0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

(6) \sup_{n\ge 1} f_n
\forall a \in \mathbb{R}に対して

$$
\{\sup_{n\ge 1} f_n \le a\} = \cap_{n=1}^{\infty}\{f_n \le a\} \in \mathcal{F}
$$

(7) \inf_{n\ge 1} f_n

\inf_{n\ge 1}f_n = -(\sup_{n\ge 1} (-f_n))

より示される。

(8) \limsup_{n\to\infty}f_n

定義

\limsup_{n\to\infty}f_n=\inf_{n\in\mathbb{N}}(\sup_{k\ge n} f_k)

から、これも \mathcal{F} -可測関数

(9) \liminf_{n\to\infty}f_n

同様に定義

\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{n\in\mathbb{N}}(\inf_{k\ge n}f_k)

からわかる。

(10) \lim_{n\to\infty}f_n 極限の定義から、数列が極限を持つのは、上極限と下極限が一致した時であるから、明らか。

$$
\lim_{n\to\infty}f_n=\liminf_{n\to\infty}f_n=\limsup_{n\to\infty}f_n
$$

(11) f\lor g = \max\{f,g\}
\forall a \in \mathbb{R} に対して

$$
\begin{eqnarray}
\{f\lor g \le a\}&=&\{\max\{f,g\}\le a\} \\
&=& \{f\le a\}\cap\{g\le a\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$

(12) f \land g = \min\{f,g\}

\forall a\in \mathbb{R} に対して

$$
\begin{eqnarray}
\{f\land g \le a\}&=& \{\min\{f,g\}\le a\} \\
&=& \{f\le a\}\cup\{g\le a\} \in \mathcal{F}
\end{eqnarray}
$$

(13)\sqrt{f}

\forall a\in \mathbb{R}に対して

$$
\{\sqrt{f}\le a\}=
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{cl}
\{0\le f \le a^2\} \in \mathcal{F} & (a\ge 0) \\
\phi \in \mathcal{F} & (a < 0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

より \sqrt{f} は可測関数。

参考文献

梅垣壽春,大矢雅則,塚田真(2015)『測度・積分・確率』共立出版株式会社
志賀浩二(2008)『ルベーグ積分30講』朝倉書店
伊藤清三(2008)『数学選書4. ルベーグ積分入門』裳華房

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