統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

一様最強力検定(UMP検定)

定義

互いに独立な標本X_1,X_2,\ldots,X_nに対して
検定問題
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H_0 : \theta \in \Theta_0 \\
H_1 : \theta \in \Theta_1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を考えたとき、最良な棄却域W^*の選び方として
\begin{equation}
\forall \theta_0 \in \Theta_0,\beta_{W^*} (\theta_0) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W^* | \theta_0 \in \Theta_0) = \alpha
\end{equation}
かつ
\begin{equation}
\forall W, \forall \theta_1 \in \Theta_1,\beta_{W^*} (\theta_1) \ge \beta_W (\theta_1)
\end{equation}
を満たす一様最強力棄却域W^*によって定まる検定を一様最強力検定という。

内容

覚えておきたいこと
検定を決める = 棄却域を決める

何を言っているのかというと、どのような棄却域よりも、検出力が大きい。
つまり、検出力が最大となるような棄却域(一様最強力棄却域)を用いて行われる検定が
他の棄却域を用いる検定に比べ最も良いということが言いたいのである。
最初のやつは有意水準に関する言及であり、メインは後者の方である。後者の式を言い直すと、

「任意のどのような棄却域をとってきたとしても、その検出力は、最強力棄却域による検出力以下である」

ということである。

また、後者の式を変形すると

\begin{eqnarray}
\beta_{W^*} (\theta_1) & \ge & \beta_W (\theta_1) \\
P((X_1,\ldots,X_n) \in W^* | \theta_1 \in \Theta_1) & \ge & P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta_1 \in \Theta_1) \\
1-P((X_1,\ldots,X_n) \notin W^* | \theta_1 \in \Theta_1) & \ge & 1-P((X_1,\ldots,X_n) \notin W | \theta_1 \in \Theta_1) \\
P((X_1,\ldots,X_n) \notin W^* | \theta_1 \in \Theta_1) & \le & P((X_1,\ldots,X_n) \notin W | \theta_1 \in \Theta_1)
\end{eqnarray}

これはつまり、一様最強力棄却域が、第2種の誤り確率を最小にする棄却域であることを示している。

参考文献

鈴木武・山田作太郎(2006)『数理統計学-基礎から学ぶデータ解析-』内田老鶴圃.
国沢清典(2012)『確率統計演習2-統計』培風館.
稲垣宣生(2013)『数理統計学』(数学シリーズ)裳華房.

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