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統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

検出力関数

第1種の誤りと第2種の誤り

検定で必ず出てくる第1種の誤り第2種の誤りについて確認する。

第1種の誤り・・・帰無仮説H_0が正しいにも関わらず、H_0を棄却してしまう誤り

第2種の誤り・・・対立仮説H_1が正しいにも関わらず、H_0を採択してしまう誤り
となる。
通常、第1種の誤りよりも第2種の誤りの方が重大である。

検出力関数の定義

統計の参考書を読んでいると、数理統計学を扱う参考書ですら、
検出力という単語はでるものの、検出力関数という単語があまり出てこない。
(これを書いている時、私もそれで困っている。)
私が持っている参考書によると

検定関数を\varphi(\boldsymbol{X})として

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
H_0 : \theta \in \Theta_0 \\
H_1 : \theta \in \Theta_1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
の検定問題を考えた時、対立仮説が正しい時に
\begin{equation}
\beta (\theta; \varphi) := E_{\theta} (\varphi (\boldsymbol{X})) \;\; (\theta \in \Theta_1)
\end{equation}
H_1を受容する確率を表している。
つまりは検定\varphi (\boldsymbol{X})の良さを表しており、
これを\varphi(\boldsymbol{X})検出力という。
\beta (\theta; \varphi)\thetaの関数と見たとき、\beta\varphi(\boldsymbol{X})検出力関数と呼ぶ。

授業を受けたのでそれによると

検出力関数(power function)・・・棄却域Wを与えて、帰無仮説H_0を棄却(reject)する確率
で与えられ、

\begin{equation}
\beta_W(\theta) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta \in \Theta)
\end{equation}

で定義される。

1.特に\theta_1 \in \Theta_1の時、\beta_W(\theta_1)を検出力(power)という

\begin{equation}
\beta_W(\theta_1) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta_1 \in \Theta_1) \;\; \gets (大きいほうがよい) \\
= 1 - P((X_1,\ldots,X_n) \notin W | \theta_1 \in \Theta_1)\; \gets (第2種の誤り)
\end{equation}

2.特に\theta \in \Thetaの時

\begin{equation}
\beta_W(\theta_0) = P((X_1,\ldots,X_n) \in W | \theta_0 \in \Theta_0) \;\; \gets (第1種の誤り)
\end{equation}


参考文献

鈴木武・山田作太郎(2006)『数理統計学-基礎から学ぶデータ解析-』内田老鶴圃.
国沢清典(2012)『確率統計演習2-統計』培風館.
稲垣宣生(2013)『数理統計学』(数学シリーズ)裳華房.

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