検定方式の定め方[正規分布の例] - 統計・確率のお勉強

統計を各分野で応用する場合、既に知られている検定方式をただ使うことがほとんどであり、その検定方式がどのようにして定まるのか触れられることは少なく、また、それを知る必要性も低い。しかし、統計学をきちんと学ぼうとする際に各手法がどのような理論のもとで成り立っているのかを知ることは、各手法がどのような考え方のもとできてきているのか、統計がどのような考え方を持って各手法を導き出しているのかを知る助けとなる。ここでは、Neyman-Pearsonの定理から、検定方式を定め方に関して、式を追っていくことにする。

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Neyman-Pearson(ネイマン・ピアソン)の定理

帰無仮説 $H_0 : \theta = \theta_0$ (単純仮説)
対立仮説 $H_1 : \theta = \theta_1$ (単純仮説)

に対して検定する。標本数は $n$ である。

棄却域が決まれば検定方式が決まる。最強力検定法をを作るにはNeyman-Pearsonの定理から以下の手順に従えば良いことがわかっている。

(1)領域を作る。

$Rc = \{(x_1,x_2,...,x_n); \frac{\prod_{i=1}^n f(x_i; \theta_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i; \theta_0)} \ge c\}$

となる領域 $R_c$ を作っておく。

(2)
$P\{(X_1,X_2,...,X_n) \in R_c | \theta = \theta_0 \} = P(第1種の誤りが起こる)$

$= \int \ldots \int_{R_c} \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta_0)dx_1\ldots dx_n = \alpha$

となるように定数 $c$ を定める。この時求まった $R_c$ が最強力棄却域 $R^*$ となる。

以上の(1)(2)従って検定方式を求めていく。例として正規母集団に関する検定方式を求めていく。

検定方式を求める(正規母集団,平均 $\mu$ 未知,分散 $\sigma^2$ 既知)

正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ の母平均 $\mu$ について下記の仮説の時

帰無仮説 $H_0 : \mu = \mu_0$
対立仮説 $H_1 : \mu = \mu_1 (> \mu_0)$

次の検定法が最強力検定法であることを示す。

$\bar{x} < \mu_0 + u(\alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 　の時 $H_0$ を棄却

$\bar{x} > \mu_0 + u(\alpha) \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 　の時 $H_0$ を採択

( $\alpha$ は有意水準,u( $\alpha$ )は標準正規分布の上側確率)

ここでは正規母集団 $N(\mu,\sigma^2)$ を考えているので母集団の分布は

${ f(x;\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \}}$

で与えられ、これを(1)の式に代入する。

(a)
$Rc = \{(x_1,\ldots,x_n); \frac{\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma^2} \}}{\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-\frac{(x-\mu_0)^2}{2\sigma^2} \}} \ge c \}$