統計,確率のお勉強

統計学を主に勉強しています。勉強したことをアウトプットしていきます。 (※数式はMathJaxにより描画されています。ロードに少し時間がかかることがあります。)

Study Probability & Statistics

確率統計の理論と実践

統計学

統計学を学ぶのにおすすめの問題集3冊

統計学を勉強しようと考えている方向けにレベル別におすすめの問題集を紹介する。統計検定やアクチュアリー等を考えている人にも十分なレベルを備えている問題集達なのでぜひ参考にしてください。※統計検定準1級以上は範囲が広がるためここにある問題集だけ…

標本(不偏)分散の期待値, 分散[正規分布]

正規分布に従う確率変数の期待値, 分散等は統計に関連する本ならばまず間違いなく載っています. しかし, 標本(不偏)分散の期待値, 分散となってくるとなかなか取り扱っている本もサイトも少ない気がします. 定義から求めればいいといえばいいのですが, バカ…

多項分布

多項分布 多項分布 基本性質 確率関数 期待値 分散 共分散 多項分布の例 参考文献 基本性質 確率関数 期待値 分散 共分散 確率関数 1回の試行でk通りの可能な結果のいずれか1つのみが生じ、とする。この試行を独立にn回繰り返したときに、が生じる回数をと…

ベータ関数,ベータ分布

ベータ関数 定義 が正の定数のとき、下記右辺の定積分を、の関数と考え、ベータ関数と呼ぶ。$$ B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx \;\;\; (p,q > 0) $$ ベータ関数とガンマ関数の関係 ベータ関数と、ガンマ関数の間には次の関係がある。 $$ B(p,q) …

ガウス積分

統計学を学んでいるとよく出てくるのがガウス積分です。ガウス積分は求め方を知っていれば対して解を得るのは対して難しくは無いですが、いちいち求めるには少し手間です。なので、積分結果を覚えておく。公式的に暗記してしまうと、話がスムーズに進みます…

多変量解析~多変量正規分布の標準化~

1変量の時の標準化はそんなに苦では無いですよね?ここではp変量の多変量正規分布の標準化をやっていきたいと思います。 まずは多変量正規分布の確認 とする。 は正定値行列より なる正則行列 が存在する。 多変量正規分布 標準化 とする。これの逆変換が で…

ベクトル微分

多変量解析を勉強するにあたって、必要になることがあるのがベクトルの微分である。まずはまとめから $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta})}{\partial\boldsymbol{\beta}} &=& \boldsymbol{C} \tag{1} \\ \fr…

多変量解析1 多変量分布他

多変量分布 今回は多変量解析です。線形代数の知識が必要になってきて私は少し苦手 です...。 しかし今の時代、1変量でデータ解析なんて殆ど無いでしょうからちゃんとべんきょうしなきゃですなあ。 2変量の場合について まずは2変量の場合について見ていきま…

最小二乗法(単回帰)

理系の大学に入って、最初の年。物理学などの実験をかせられるところも多いだろう。その時、実験値に対して最小二乗法をしてグラフを書け!みたいなことを言われると思う。 私自身が物理学の実験を行っていた時も最小二乗法を使っていたが、何をしている課さ…

【デレステ】ありすPが33万円分1000連越えの爆死をしたそうですが、検定してみたいと思う。

デレステのガシャ確率は本当に正しいのか?消費者には見えないガシャ確率を統計的に考える twitterを眺めていたら、最近よく見るソシャゲ爆死記事を見つけました。今回目にしたのは1000連越えのデレステガシャをして目的のキャラ(橘ありす)のSSレアが出なか…

ガンマ(Gamma)関数とガンマ分布

普段勉強していてガンマ関数の取り扱いに難があるのでここにまとめいておこうと思います。 ガンマ関数 定義 $$ \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}dx \;\;\;\;\;(s > 0) $$ガンマ関数は上記の式で表されます。 は収束条件です。 特徴 ガン…

損保数理の問題集

久々の更新です。最近は問題集での勉強をメインでやっているので、余り書くことがなくて...問題集をやっていて思うのが大学1,2年で以下に勉強していなかったかというね...確率統計の勉強をしてるわけですが、実際に問題を解いてて思うのが、微積が結構できな…

正規分布

連続型モデルで、統計確率の中でも最も有名で重要な分布である正規分布について。正規分布は で表される。 確率密度関数 確率密度関数は上記で表される。平均は 分散が また、 の時、標準正規分布と呼ばれ、で確率密度関数は表される。 標準化 標準化を行う…

1次元データの取り扱い

データの種類 データには2種類ある。量的データと質的データである。量的データ データが定量的な値で与えられるもの。量的データには、長さ、重さ、体積、面積、金額、温度、時間など数値でその値を測定できるものが含まれる。質的データ 数値として観測す…

平均μ、分散σ^2共に未知の場合の尤度比検定(正規分布)

この検定方法の導出がなかなかに骨が折れるものでした... 定着のためにも載せておこうと思います。 尤度比検定 ここで用いる尤度比検定の基本的な内容については以下を参照してください doratai.hatenablog.com尤度比検定 - 統計,確率のお勉強 問題 正規母集…

一様最強力検定(UMP検定)

定義 互いに独立な標本に対して 検定問題 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} H_0 : \theta \in \Theta_0 \\ H_1 : \theta \in \Theta_1 \end{array} \right. \end{eqnarray} を考えたとき、最良な棄却域の選び方として \begin{equation} \forall \t…

検出力関数

第1種の誤りと第2種の誤り 検定で必ず出てくる第1種の誤りと第2種の誤りについて確認する。 第1種の誤り・・・帰無仮説が正しいにも関わらず、を棄却してしまう誤り第2種の誤り・・・対立仮説が正しいにも関わらず、を採択してしまう誤り となる。 通常、第1…

尤度比検定

尤度関数(likelihood function) 尤度とは尤もらしさ(もっともらしさ)の度合いのことを指している。 とりあえずこれだけ 母集団の分布をとするとき、母数に関する尤度関数は \begin{equation} L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta) \end{equation} と書…

Neyman-Pearson(ネイマン・ピアソン)の基本定理

一般 確率ベクトル(標本確率変数)は分布に従うとし、 分布の確率(密度)関数をとする。 この時、検定問題\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} H_0 : \theta = \theta_0 (単純仮説) \\ H_1 : \theta = \theta_1 (単純仮説) \end{array} \right. \end{eq…

検定方式の定め方[正規分布の例]

統計を各分野で応用する場合、既に知られている検定方式をただ使うことがほとんどであり、その検定方式がどのようにして定まるのか触れられることは少なく、また、それを知る必要性も低い。しかし、統計学をきちんと学ぼうとする際に各手法がどのような理論…