久々にこのブログを書きます...前回書いたのはいつだったか...。最近はTexにまとめてるんでこっちのことを完全に忘れてました...
研究室に配属されて、多変量解析の勉強が本格的に始まってきました。まだ、ほとんどやっていないに等しいですが、気が向いた時に学んだことを覚え書きしていこうと思います。
自分が勉強に使っているのは研究室指定の
T.W.Anderson『An Introduction to Multivariate Statistical Analysis』
です。これの流れに沿って勉強をすすめていこうと思います。
累積分布関数(1変量の場合)
多変量に入る前に1変量について見ていきます。1変量の累積分布関数(cumulative distribution function)は次のように定義される
分布関数は次の性質を持つ。
1. 任意の に対して
でありかつ
2.は単調非減少である.
3. は右側連続である.
指数分布について密度関数と分布関数を見てみる。
指数分布の密度関数は
であり、分布関数は
で与えられる。
密度関数は分布関数の微分で定義され、次の関係が成り立つ。
$$
f(x) = \frac{d}{dx}F(x) \Leftrightarrow F(x) = \int_{-\infty}^x f(u)du
$$
また、この他に密度関数は次の性質を満たす。
2変量の場合
次は2変量の場合について考える。2つの確率変数を考える。c.d.f.がすべての実数の組
について次で定義される。
$$
F(x,y) = Pr\{ X \le x, Y \le y\}
$$
ここで考えているは絶対連続の場合。つまり、ほとんど至る所(almost everywhere)で偏導関数が存在する場合を考える。つまり、ほとんど至る所で次が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y} &=& f(x,y) \\
F(x,y) &=& \int_{-\infty}^y \int_{-\infty}^x f(u,v)dudv
\end{eqnarray}
が成り立つものとして考える。ここで非負関数は
と
の密度関数と呼ばれる。この関数は以下の性質を持つ。
ほとんど至る所(almost everywhere)
ここで直接は関係無いが、少し気になるalmost everywhere について考えてみる。
定義
ここで-零集合とは、
なる
を
-零可測集合といい、これが存在して、
なる集合を
-零集合という。
ここで、とし、
をc.d.f.とする。命題関数を
$$
P(\boldsymbol{\omega}) = \left\{
\begin{array}{cc}
TRUE & if \;\; F(\boldsymbol{\omega})\;has\;a\;partial\;derivative\;at\;the\;point\;\boldsymbol{\omega} \\
FALSE & elsewhere
\end{array}
\right.
$$
で与える。先程述べた、偏導関数がほとんど至る所でん存在するとは、集合
$$
\{ \boldsymbol{\omega} \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} :P(\boldsymbol{\omega}) = FALSE\}
$$
が-零集合であることを意味する。つまり
$$
\mu(\{ \boldsymbol{\omega} \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : P(\boldsymbol{\omega}) = FALSE\}) = 0
$$
これは、上の点
について、偏導関数が存在しない点の集合の測度が0であることを意味する。
p変量の場合
今、個の確率変数
を考える。そのc.d.f.は
\begin{equation}
F(x_1,\ldots,x_p) = Pr\{X_1 \le x_1,\ldots,X_p \le x_p\}
\end{equation}
がすべての実数の集合によって定義される。密度関数は
が絶対連続であるならば
\begin{equation}
\frac{\partial^p F(x_1,\ldots,x_p)}{\partial x_1 \ldots \partial x_p} = f(x_1,\ldots,x_p)
\end{equation}
で与えられ、また
\begin{equation}
F(x_1,\ldots,x_p) = \int_{-\infty}^{x_p} \cdots \int_{-\infty}^{x_1} f(u_1,\ldots,u_p) du_1 \ldots du_p
\end{equation}
が成り立つ。次元ユークリッド空間の任意の可測集合を
とする時、確率変数
が
に属する確率は
\begin{equation}
Pr\{(X_1,\ldots,X_p) \in R\} = \underset{R}{\idotsint} f(x_1,\ldots,x_p) dx_1\ldots dx_p
\end{equation}
確率要素はほぼ確率
に等しい。
もしが連続であるならば、同時積率は次で定義される。
\begin{equation}
E(X_1^{h_1}\cdots X_p^{h_p}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \cdots \int_{-\infty}^{+\infty} x_1^{h_1} \cdots x_p^{h_p} f(x_1,\cdots,x_p) dx_1\cdots dx_p
\end{equation}
